Name: Hello算法 C++版本 (靳宇栋) (Z-Library)
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Hello算法 C++语言版 作者：靳宇栋（@krahets） 代码审阅：宫兰景（@Gonglja） Release 1.0.0 2024‑02‑09

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序 两年前，我在力扣上分享了“剑指Offer”系列题解，受到了许多读者的鼓励和支持。在与读者交流期间，我 最常被问的一个问题是“如何入门算法”。逐渐地，我对这个问题产生了浓厚的兴趣。 两眼一抹黑地刷题似乎是最受欢迎的方法，简单、直接且有效。然而刷题就如同玩“扫雷”游戏，自学能力 强的人能够顺利将地雷逐个排掉，而基础不足的人很可能被炸得满头是包，并在挫折中步步退缩。通读教材 也是一种常见做法，但对于面向求职的人来说，毕业论文、投递简历、准备笔试和面试已经消耗了大部分精 力，啃厚重的书往往变成了一项艰巨的挑战。 如果你也面临类似的困扰，那么很幸运这本书“找”到了你。本书是我对这个问题给出的答案，即使不是最 优解，也至少是一次积极的尝试。本书虽然不足以让你直接拿到 Offer，但会引导你探索数据结构与算法的 “知识地图”，带你了解不同“地雷”的形状、大小和分布位置，让你掌握各种“排雷方法”。有了这些本领， 相信你可以更加自如地刷题和阅读文献，逐步构建起完整的知识体系。 我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜负你为本书所付出的宝贵“注意力”，我会竭尽所能，投入最大的“注意力” 来完成本书的创作。本人自知学疏才浅，书中内容虽然已经过一段时间的打磨，但一定仍有许多错误，恳请 各位老师和同学批评指正。 本书中的代码附有可一键运行的源文件，托管于 github.com/krahets/hello‑algo 仓库。动画在 PDF 内的 展示效果受限，可访问 hello‑algo.com网页版以获得更优的阅读体验。 推荐语 “一本通俗易懂的数据结构与算法入门书，引导读者手脑并用地学习，强烈推荐算法初学者阅读！” ——邓俊辉，清华大学计算机系教授 “如果我当年学数据结构与算法的时候有《Hello 算法》，学起来应该会简单 10 倍！” ——李沐，亚马逊资深首席科学家

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i 目 录 第0章 前言 1 0.1 关于本书 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 如何使用本书 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 第1章 初识算法 10 1.1 算法无处不在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 算法是什么 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 第2章 复杂度分析 17 2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 空间复杂度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 第3章 数据结构 51 3.1 数据结构分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 基本数据类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 数字编码 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 字符编码 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 第4章 数组与链表 66 4.1 数组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 链表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3 列表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4 内存与缓存 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 第5章 栈与队列 89 5.1 栈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.2 队列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 双向队列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 第6章 哈希表 114 6.1 哈希表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 哈希冲突 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.3 哈希算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 第7章 树 137 7.1 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

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目 录 hello‑algo.com ii 第8章 堆 173 8.1 堆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2 建堆操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.3 Top‑k 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 第9章 图 188 9.1 图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.2 图的基础操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.3 图的遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 第10章 搜索 208 10.1 二分查找 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 10.2 二分查找插入点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.3 二分查找边界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.4 哈希优化策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.5 重识搜索算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 第11章 排序 225 11.1 排序算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.2 选择排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.3 冒泡排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.4 插入排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.5 快速排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.6 归并排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.7 堆排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 桶排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.9 计数排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.10 基数排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.11 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 第12章 分治 259 12.1 分治算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 12.4 汉诺塔问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 12.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 第13章 回溯 276 13.1 回溯算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13.2 全排列问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.3 子集和问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.4 n 皇后问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 13.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 第14章 动态规划 302 14.1 初探动态规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 14.2 动态规划问题特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 14.3 动态规划解题思路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 14.4 0‑1 背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 14.5 完全背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 14.6 编辑距离问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 14.7 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

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目 录 hello‑algo.com iii 第15章 贪心 346 15.1 贪心算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 15.2 分数背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 15.3 最大容量问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 15.4 最大切分乘积问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 15.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 第16章 附录 364 16.1 编程环境安装 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 16.2 一起参与创作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 16.3 术语表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

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1 第0章 前言 算法犹如美妙的交响乐，每一行代码都像韵律般流淌。 愿这本书在你的脑海中轻轻响起，留下独特而深刻的旋律。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 2 0.1 关于本书 本项目旨在创建一本开源、免费、对新手友好的数据结构与算法入门教程。 ‧ 全书采用动画图解，结构化地讲解数据结构与算法知识，内容清晰易懂，学习曲线平滑。 ‧ 算法源代码皆可一键运行，支持Python、C++、Java、C#、Go、Swift、JavaScript、TypeScript、Dart、 Rust、C 和 Zig 等语言。 ‧ 鼓励读者在线上章节评论区互帮互助、共同进步，提问与评论通常可在两日内得到回复。 0.1.1 读者对象 若你是算法初学者，从未接触过算法，或者已经有一些刷题经验，对数据结构与算法有模糊的认识，在会与 不会之间反复横跳，那么本书正是为你量身定制的！ 如果你已经积累一定的刷题量，熟悉大部分题型，那么本书可助你回顾与梳理算法知识体系，仓库源代码可 以当作“刷题工具库”或“算法字典”来使用。 若你是算法“大神”，我们期待收到你的宝贵建议，或者一起参与创作。 前置条件 你需要至少具备任一语言的编程基础，能够阅读和编写简单代码。 0.1.2 内容结构 本书的主要内容如图 0‑1 所示。 ‧ 复杂度分析：数据结构和算法的评价维度与方法。时间复杂度和空间复杂度的推算方法、常见类型、示 例等。 ‧ 数据结构：基本数据类型和数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图等数据 结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤 和示例问题等。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 3 图 0‑1 本书主要内容 0.1.3 致谢 本书在开源社区众多贡献者的共同努力下不断完善。感谢每一位投入时间与精力的撰稿人，他们是（按照 GitHub自动生成的顺序）：krahets、codingonion、nuomi1、Gonglja、Reanon、justin‑tse、danielsss、 hpstory、S‑N‑O‑R‑L‑A‑X、night‑cruise、msk397、gvenusleo、RiverTwilight、gyt95、zhuoqinyue、 Zuoxun、Xia‑Sang、mingXta、FangYuan33、GN‑Yu、IsChristina、xBLACKICEx、guowei‑gong、Cathay‑ Chen、mgisr、JoseHung、qualifier1024、pengchzn、Guanngxu、longsizhuo、L‑Super、what‑is‑me、 yuan0221、lhxsm、Slone123c、WSL0809、longranger2、theNefelibatas、xiongsp、JeffersonHuang、 hongyun‑robot、K3v123、yuelinxin、a16su、gaofer、malone6、Wonderdch、xjr7670、DullSword、 Horbin‑Magician、NI‑SW、reeswell、XC‑Zero、XiaChuerwu、yd‑j、iron‑irax、huawuque404、MolDuM、 Nigh、KorsChen、foursevenlove、52coder、bubble9um、youshaoXG、curly210102、gltianwen、 fanchenggang、Transmigration‑zhou、FloranceYeh、FreddieLi、ShiMaRing、lipusheng、Javesun99、 JackYang‑hellobobo、shanghai‑Jerry、0130w、Keynman、psychelzh、logan‑qiu、ZnYang2018、 MwumLi、1ch0、Phoenix0415、qingpeng9802、Richard‑Zhang1019、QiLOL、Suremotoo、Turing‑ 1024‑Lee、Evilrabbit520、GaochaoZhu、ZJKung、linzeyan、hezhizhen、ZongYangL、beintentional、 czruby、coderlef、dshlstarr、szu17dmy、fbigm、gledfish、hts0000、boloboloda、iStig、jiaxianhua、 wenjianmin、keshida、kilikilikid、lclc6、lwbaptx、liuxjerry、lucaswangdev、lyl625760、chadyi、 noobcodemaker、selear、siqyka、syd168、4yDX3906、tao363、wangwang105、weibk、yabo083、 yi427、yishangzhang、zhouLion、baagod、ElaBosak233、xb534、luluxia、yanedie、thomasq0、 YangXuanyi 和 th1nk3r‑ing 。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 4 本书的代码审阅工作由codingonion、Gonglja、gvenusleo、hpstory、justin‑tse、krahets、night‑cruise、 nuomi1 和 Reanon 完成（按照首字母顺序排列）。感谢他们付出的时间与精力，正是他们确保了各语言代 码的规范与统一。 在本书的创作过程中，我得到了许多人的帮助。 ‧ 感谢我在公司的导师李汐博士，在一次畅谈中你鼓励我“快行动起来”，坚定了我写这本书的决心； ‧ 感谢我的女朋友泡泡作为本书的首位读者，从算法小白的角度提出许多宝贵建议，使得本书更适合新 手阅读； ‧ 感谢腾宝、琦宝、飞宝为本书起了一个富有创意的名字，唤起大家写下第一行代码“Hello World!”的 美好回忆； ‧ 感谢校铨在知识产权方面提供的专业帮助，这对本开源书的完善起到了重要作用； ‧ 感谢苏潼为本书设计了精美的封面和 logo ，并在我的强迫症的驱使下多次耐心修改； ‧ 感谢@squidfunk 提供的排版建议，以及他开发的开源文档主题Material‑for‑MkDocs 。 在写作过程中，我阅读了许多关于数据结构与算法的教材和文章。这些作品为本书提供了优秀的范本，确保 了本书内容的准确性与品质。在此感谢所有老师和前辈的杰出贡献！ 本书倡导手脑并用的学习方式，在这一点上我深受《动手学深度学习》的启发。在此向各位读者强烈推荐这 本优秀的著作。 衷心感谢我的父母，正是你们一直以来的支持与鼓励，让我有机会做这件富有趣味的事。 0.2 如何使用本书 为了获得最佳的阅读体验，建议你通读本节内容。 0.2.1 行文风格约定 ‧ 标题后标注 *的是选读章节，内容相对困难。如果你的时间有限，可以先跳过。 ‧ 重要专有名词及其英文翻译会用「」括号标注，例如「数组 array」。建议记住它们，以便阅读文献。 ‧ 专有名词和有特指含义的词句会使用“引号”标注，以避免歧义。 ‧ 重要名词、重点内容和总结性语句会加粗，这类文字值得特别关注。 ‧ 当涉及编程语言之间不一致的名词时，本书均以 Python 为准，例如使用 None来表示“空”。 ‧ 本书部分放弃了编程语言的注释规范，以换取更加紧凑的内容排版。注释主要分为三种类型：标题注 释、内容注释、多行注释。 /* 标题注释，用于标注函数、类、测试样例等 */ // 内容注释，用于详解代码 /** * 多行

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第 0章 前言 hello‑algo.com 5 * 注释 */ 0.2.2 在动画图解中高效学习 相较于文字，视频和图片具有更高的信息密度和结构化程度，更易于理解。在本书中，重点和难点知识将主 要通过动画以图解形式展示，而文字则作为解释与补充。 如果你在阅读本书时，发现某段内容提供了如图 0‑2 所示的动画图解，请以图为主、以文字为辅，综合两者 来理解内容。 图 0‑2 动画图解示例 0.2.3 在代码实践中加深理解 本书的配套代码托管在GitHub 仓库。如图 0‑3 所示，源代码附有测试样例，可一键运行。 如果时间允许，建议你参照代码自行敲一遍。如果学习时间有限，请至少通读并运行所有代码。 与阅读代码相比，编写代码的过程往往能带来更多收获。动手学，才是真的学。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 6 图 0‑3 运行代码示例 运行代码的前置工作主要分为三步。 第一步：安装本地编程环境。请参照附录所示的教程进行安装，如果已安装，则可跳过此步骤。 第二步：克隆或下载代码仓库。前往GitHub 仓库。如果已经安装Git ，可以通过以下命令克隆本仓库： git clone https://github.com/krahets/hello-algo.git 当然，你也可以在图 0‑4 所示的位置，点击“Download ZIP”按钮直接下载代码压缩包，然后在本地解压即 可。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 7 图 0‑4 克隆仓库与下载代码 第三步：运行源代码。如图 0‑5 所示，对于顶部标有文件名称的代码块，我们可以在仓库的 codes文件夹内 找到对应的源代码文件。源代码文件可一键运行，将帮助你节省不必要的调试时间，让你能够专注于学习内 容。 图 0‑5 代码块与对应的源代码文件 除了本地运行代码，网页版还支持Python代码的可视化运行（基于pythontutor 实现）。如图 0‑6 所示，你 可以点击代码块下方的“可视化运行”来展开视图，观察算法代码的执行过程；也可以点击“全屏观看”，以 获得更好的阅览体验。 图 0‑6 Python 代码的可视化运行

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第 0章 前言 hello‑algo.com 8 0.2.4 在提问讨论中共同成长 在阅读本书时，请不要轻易跳过那些没学明白的知识点。欢迎在评论区提出你的问题，我和小伙伴们将竭诚 为你解答，一般情况下可在两天内回复。 如图 0‑7 所示，网页版每个章节的底部都配有评论区。希望你能多关注评论区的内容。一方面，你可以了解 大家遇到的问题，从而查漏补缺，激发更深入的思考。另一方面，期待你能慷慨地回答其他小伙伴的问题，分 享你的见解，帮助他人进步。 图 0‑7 评论区示例 0.2.5 算法学习路线 从总体上看，我们可以将学习数据结构与算法的过程划分为三个阶段。 1. 阶段一：算法入门。我们需要熟悉各种数据结构的特点和用法，学习不同算法的原理、流程、用途和效 率等方面的内容。 2. 阶段二：刷算法题。建议从热门题目开刷，如“剑指Offer”和“LeetCode Hot 100”，先积累至少 100 道题目，熟悉主流的算法问题。初次刷题时，“知识遗忘”可能是一个挑战，但请放心，这是很正常的。 我们可以按照“艾宾浩斯遗忘曲线”来复习题目，通常在进行 3～5 轮的重复后，就能将其牢记在心。 3. 阶段三：搭建知识体系。在学习方面，我们可以阅读算法专栏文章、解题框架和算法教材，以不断丰富 知识体系。在刷题方面，可以尝试采用进阶刷题策略，如按专题分类、一题多解、一解多题等，相关的 刷题心得可以在各个社区找到。 如图 0‑8 所示，本书内容主要涵盖“阶段一”，旨在帮助你更高效地展开阶段二和阶段三的学习。

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第 0章 前言 hello‑algo.com 9 图 0‑8 算法学习路线 0.3 小结 ‧ 本书的主要受众是算法初学者。如果你已有一定基础，本书能帮助你系统回顾算法知识，书中源代码也 可作为“刷题工具库”使用。 ‧ 书中内容主要包括复杂度分析、数据结构和算法三部分，涵盖了该领域的大部分主题。 ‧ 对于算法新手，在初学阶段阅读一本入门书至关重要，可以少走许多弯路。 ‧ 书中的动画图解通常用于介绍重点和难点知识。阅读本书时，应给予这些内容更多关注。 ‧ 实践乃学习编程之最佳途径。强烈建议运行源代码并亲自敲代码。 ‧ 本书网页版的每个章节都设有评论区，欢迎随时分享你的疑惑与见解。

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10 第1章 初识算法 一位少女翩翩起舞，与数据交织在一起，裙摆上飘扬着算法的旋律。 她邀请你共舞，请紧跟她的步伐，踏入充满逻辑与美感的算法世界。

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第 1章 初识算法 hello‑algo.com 11 1.1 算法无处不在 当我们听到“算法”这个词时，很自然地会想到数学。然而实际上，许多算法并不涉及复杂数学，而是更多 地依赖基本逻辑，这些逻辑在我们的日常生活中处处可见。 在正式探讨算法之前，有一个有趣的事实值得分享：你已经在不知不觉中学会了许多算法，并习惯将它们应 用到日常生活中了。下面我将举几个具体的例子来证实这一点。 例一：查字典。在字典里，每个汉字都对应一个拼音，而字典是按照拼音字母顺序排列的。假设我们需要查 找一个拼音首字母为 𝑟的字，通常会按照图 1‑1 所示的方式实现。 1. 翻开字典约一半的页数，查看该页的首字母是什么，假设首字母为𝑚。 2. 由于在拼音字母表中 𝑟位于𝑚之后，所以排除字典前半部分，查找范围缩小到后半部分。 3. 不断重复步骤 1.和步骤 2.，直至找到拼音首字母为 𝑟的页码为止。 图 1‑1 查字典步骤 查字典这个小学生必备技能，实际上就是著名的“二分查找”算法。从数据结构的角度，我们可以把字典视 为一个已排序的“数组”；从算法的角度，我们可以将上述查字典的一系列操作看作“二分查找”。 例二：整理扑克。我们在打牌时，每局都需要整理手中的扑克牌，使其从小到大排列，实现流程如图 1‑2 所 示。

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第 1章 初识算法 hello‑algo.com 12 1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分，并假设初始状态下最左 1张扑克牌已经有序。 2. 在无序部分抽出一张扑克牌，插入至有序部分的正确位置；完成后最左 2张扑克已经有序。 3. 不断循环步骤 2.，每一轮将一张扑克牌从无序部分插入至有序部分，直至所有扑克牌都有序。 图 1‑2 扑克排序步骤 上述整理扑克牌的方法本质上是“插入排序”算法，它在处理小型数据集时非常高效。许多编程语言的排序 库函数中都有插入排序的身影。 例三：货币找零。假设我们在超市购买了 69元的商品，给了收银员 100元，则收银员需要找我们 31元。他 会很自然地完成如图 1‑3 所示的思考。 1. 可选项是比 31元面值更小的货币，包括 1元、5元、10元、20元。 2. 从可选项中拿出最大的 20元，剩余 31 − 20 = 11元。 3. 从剩余可选项中拿出最大的 10元，剩余 11 − 10 = 1元。 4. 从剩余可选项中拿出最大的 1元，剩余 1 − 1 = 0元。 5. 完成找零，方案为 20 + 10 + 1 = 31元。

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第 1章 初识算法 hello‑algo.com 13 图 1‑3 货币找零过程 在以上步骤中，我们每一步都采取当前看来最好的选择（尽可能用大面额的货币），最终得到了可行的找零方 案。从数据结构与算法的角度看，这种方法本质上是“贪心”算法。 小到烹饪一道菜，大到星际航行，几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使得我们能够通过编程 将数据结构存储在内存中，同时编写代码调用 CPU和 GPU执行算法。这样一来，我们就能把生活中的问题 转移到计算机上，以更高效的方式解决各种复杂问题。 如果你对数据结构、算法、数组和二分查找等概念仍感到一知半解，请继续往下阅读，本书将 引导你迈入数据结构与算法的知识殿堂。 1.2 算法是什么 1.2.1 算法定义 「算法 algorithm」是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤，它具有以下特性。 ‧ 问题是明确的，包含清晰的输入和输出定义。 ‧ 具有可行性，能够在有限步骤、时间和内存空间下完成。 ‧ 各步骤都有确定的含义，在相同的输入和运行条件下，输出始终相同。 1.2.2 数据结构定义 「数据结构 data structure」是计算机中组织和存储数据的方式，具有以下设计目标。 ‧ 空间占用尽量少，以节省计算机内存。

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第 1章 初识算法 hello‑algo.com 14 ‧ 数据操作尽可能快速，涵盖数据访问、添加、删除、更新等。 ‧ 提供简洁的数据表示和逻辑信息，以便算法高效运行。 数据结构设计是一个充满权衡的过程。如果想在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥协。下面举两 个例子。 ‧ 链表相较于数组，在数据添加和删除操作上更加便捷，但牺牲了数据访问速度。 ‧ 图相较于链表，提供了更丰富的逻辑信息，但需要占用更大的内存空间。 1.2.3 数据结构与算法的关系 如图 1‑4 所示，数据结构与算法高度相关、紧密结合，具体表现在以下三个方面。 ‧ 数据结构是算法的基石。数据结构为算法提供了结构化存储的数据，以及操作数据的方法。 ‧ 算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，结合算法才能解决特定问题。 ‧ 算法通常可以基于不同的数据结构实现，但执行效率可能相差很大，选择合适的数据结构是关键。 图 1‑4 数据结构与算法的关系 数据结构与算法犹如图 1‑5 所示的拼装积木。一套积木，除了包含许多零件之外，还附有详细的组装说明书。 我们按照说明书一步步操作，就能组装出精美的积木模型。

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