程序员的数学（第2版） (结城浩) (Z-Library)

t 著 [日] 结城浩 译 管 杰 卢晓南 责任编辑 高宇涵 责任印制 周昇亮 t 人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路 11 号 邮编 100164 电子邮件　315@ptpresscomcn 网址　http://wwwptpresscomcn 北京 印刷 t 开本：800×1000 1/16 印张：175 字数：317 千字 　　2020 年 4 月第 2 版 印数：82 301-87 300 册 　　2020 年 4 月北京第 1 次印刷 著作权合同登记号 图字：01-2019-5720 号 定价： 5900 元 读者服务热线：(010)51095183 转 600　印装质量热线：(010)81055316 反盗版热线：(010)81055315 广告经营许可证：京东工商广登字 20170147 号 内 容 提 要 本书面向程序员介绍了编程中常用的数学知识，借以培养初级程序员的数学思维。读者无须精通编 程，也无须精通数学，只要具备四则运算和乘方等基础知识，即可阅读本书。 本书讲解了二进制计数法、逻辑、余数、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题等许多与编程密 切相关的数学方法，分析了哥尼斯堡七桥问题、高斯求和、汉诺塔、斐波那契数列等经典问题和算法。 引导读者深入理解编程中的数学方法和思路。 第 2 版新增一个附录来介绍机器学习的基础知识，内容涉及感知器、损失函数、梯度下降法和神经 网络，旨在带领读者走进机器学习的世界。 本书适合程序设计人员以及编程和数学爱好者阅读。 程序员的数学 : 第2版 / (日) 结城浩著 ; 管杰, 卢晓南译. -- 2版. -- 北京 : 人民邮电出版社, 2020.4 （图灵程序设计丛书） ISBN 978-7-115-50490-6 Ⅰ. ①程… Ⅱ. ①结… ②管… ③卢… Ⅲ. ①电子计 算机－数学基础 Ⅳ. ①TP301.6 中国版本图书馆CIP数据核字(2020)第027883号 图书在版编目（ＣＩＰ）数据 -------------------------------------------------------------------

版 权 声 明 Programmer No Sugaku the 2nd edition Copyright © 2018 Hiroshi Yuki Originally published in Japan by SB Creative Corp Chinese (in simplified character only) translation rights arranged with SB Creative Corp, Tokyo through CREEK & RIVER Co, Ltd All rights reserved 本书中文简体字版由 SB Creative Corp 授权人民邮电出版社独家出版。未经出版者书面许 可，不得以任何方式复制或抄袭本书内容。 版权所有，侵权必究。

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大家好！我是结城浩。欢迎阅读《程序员的数学》。 本书是为程序员朋友们写的数学书。 编程的基础是计算机科学，而计算机科学的基础是数学。因此，学习数学有助于巩固 编程的基础，写出健壮的程序。 有的读者可能会说“但我数学不好啊”。特别是很多读者“一碰到算式就跳过不读”。 坦率而言，我自己遇到书中的算式也想跳过不看。 本书尽可能减少了“大家不想看的算式”，也没有过多的定义、定理和证明。 A 这是为帮助程序员更容易理解编程而写的书。希望你能通过本书学到有助于编程的 “数学思维”。 数学思维示例 学习“数学思维”说起来太抽象了，我们来举些具体的例子。 【条件分支和逻辑】 在编程时，我们按照条件将处理方法分为多个“分支”。对此，C 语言和 Java 语言等很 多编程语言中使用的是 if 语句。具体方法为：当满足条件时执行这条语句，不满足条件时 执行另一条语句。这时，我们就使用了数学领域的“逻辑”来控制程序。因此，编程时必 须熟练掌握 “与”“或”“非”“蕴涵”等逻辑构成元素。 【循环和数学归纳法】 我们在处理大量的信息时，使用程序进行“循环”操作。比如使用 for 语句可以循环处 理大量数据。循环中使用的就是“数学归纳法”。 【分类和计数方法】 在将许多条件和数据“分类”时，程序员必须注意不能有遗漏。这时加法法则、乘法 法则、排列、组合等“计数方法”将助你一臂之力。这是程序员应该熟记于心的数学工具。 通过本书，也可以学到递归、指数、对数、余数等重要的基础数学概念。 A　附录除外，其中介绍了一些算式。 前 言

vi 程序员的数学 人类和计算机的共同战线 我们写程序是为了解决人类解决不了的问题。程序员理解问题，编写程序；计算机运 行程序，解决问题。 人类不擅长重复劳动，很容易厌倦，有时还会出错，但人类擅长解决问题。与此相对， 计算机擅长重复劳动，但不能自行解决问题。 于是，人机合力，如虎添翼。 遇到难题，光靠人类不能解决，光靠计算机也不能解决。而人机合力就能解决问题。 这也是本书要传达的主旨之一。 不过，编写程序也非易事，无论人类和计算机如何齐心合力，总有解决不了的问题。 本书也对人类和计算机的极限进行了分析。 希望你在读完本书后能对以程序为媒介的人机合作有更深刻的理解。 本书面向的读者 本书主要面向的读者是程序员。不过若你对编程或数学感兴趣，读起来也会一样有意思。 你不需要精通数学。除附录以外，书中不会出现 和 等很难的算式，因此自认 为数学不太好的读者也完全可以阅读。阅读本书只需要具备四则运算（+ – ×÷）和乘方 （23 = 2 × 2 × 2）等基础知识。除此以外的知识在书中皆有说明。 如果你对数字和逻辑感兴趣，可能会更喜欢本书。 你也不需要精通编程。不过如果稍有一些编程经验，可能会更容易理解本书内容。书 中有个别例子是用 C 语言写的程序，不过即使不懂 C 语言也不妨碍理解。 本书结构 本书各章内容可以按任意顺序阅读，但我推荐从第 1 章开始按顺序阅读。 第 1 章对 0 进行讨论，以按位计数法为核心，学习如何用 0 来简化规则，并对“无即 是有”的意义进行了思考。 第 2 章学习使用逻辑来整理烦琐的内容，介绍逻辑表达式、真值表、德摩根定律、三

前言 vii 值逻辑、卡诺图等。　 第 3 章讨论余数。我们要记住“余数就是分组”的观点。对于一些难题，有时只要找 到周期性规律就能解决。 第 4 章学习数学归纳法。数学归纳法只需要两个步骤就能证明无穷的断言。这一章还 会举例介绍使用循环不变式写出正确的循环。 第 5 章学习排列组合等计数方法。计数的关键在于“认清对象的性质”。 第 6 章学习自己定义自己的递归，通过汉诺塔、斐波那契数列、分形图形等，练习从 复杂事物中发现递归结构。 第 7 章学习指数爆炸。计算机也很难解决含有指数爆炸的问题。我们将在这里思考研 究如何将指数爆炸为我所用，解决大型问题。另外这一章还将以二分法检索为例，学习将 问题空间一分为二的意义。 第 8 章以停机问题为例，来说明许多程序上的问题是计算机如何发展都解决不了的。 这一章也会学到反证法和对角论证法。 第 9 章回顾本书学习内容，思考人类全面把握结构的能力对解决问题有多大帮助，以 及人机协作具有何种意义。 附录学习近年备受关注的机器学习中的几个基本概念。 致谢 首先要感谢马丁·加德纳。小时候我痴迷于阅读您所著的《数学游戏》，至今仍记忆犹新。 此外，还要感谢支持我的广大读者和为我祈祷的基督教朋友们。 以下各位为本书提出了宝贵建议并给予了极大帮助，在此深表谢意（按日语五十音图顺 序）：天野胜、石井胜、岩泽正树、上原隆平、佐藤勇纪、武笠夏子、前原正英、三宅喜义。 特别感谢在本书编写过程中给予我极大关怀和支持的 SoftBank 出版有限公司的野泽喜 美男主编。 感谢一直鼓励我的爱妻和两个儿子。 本书献给在餐桌上教我方程式乃至微积分的父亲。父亲，谢谢您！ 　结城浩 2005 年 2 月 　

viii 程序员的数学 写于第 2 版发行之际 近几年，机器学习、深度学习和人工智能等词越来越频繁地出现在人们的生活中。关 注机器学习的人也越来越多。 不过，机器学习与编程和数学都有着密切关系，而且该领域发展迅速、涉及面广，所 以也有不少人对它敬而远之。 于是第 2 版增加了新的附录“迈向机器学习的第一步”。在附录中，我会逐一介绍机器 学习中的基本概念。 虽然本书秉承“尽量不用算式”的方针，但在新增的附录中，会介绍一些简单的算式 并在讲解概念时加以运用。如果不能熟悉算式的用法，那么即使是通俗易懂的内容，看起 来也会觉得很难。看到算式就拒绝思考那就太可惜了，因为算式并不可怕。 愿本书新增的附录能引领大家走出迈向机器学习的第一步。 结城浩 2017 年 12 月于横滨